【sinx的n次方积分递推式】在数学分析中，对函数 $ \sin^n x $ 的积分是常见的问题之一。对于不同次数的正弦函数进行积分时，可以通过递推的方式简化计算过程。本文将总结 $ \sin^n x $ 的积分递推公式，并以表格形式展示不同次数下的积分结果。
一、积分递推式的推导
设
$$
I_n = \int \sin^n x \, dx
$$
我们可以通过分部积分法来推导递推公式。令
$$
u = \sin^{n-1} x, \quad dv = \sin x \, dx
$$
则
$$
du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x
$$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx
$$
利用恒等式 $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $，可得：
$$
I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx
$$
$$
= -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \int \sin^n x \, dx
$$
即：
$$
I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n
$$
移项整理得：
$$
I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}
$$
$$
n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}
$$
最终得到递推公式：
$$
I_n = \frac{-\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}
$$
二、常见积分结果与递推关系表
| n | 积分表达式 $ \int \sin^n x \, dx $ | 递推关系 |
| 0 | $ x + C $ | — |
| 1 | $ -\cos x + C $ | — |
| 2 | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | $ I_2 = \frac{1}{2} I_0 $ |
| 3 | $ -\frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos(3x) + C $ | $ I_3 = \frac{2}{3} I_1 $ |
| 4 | $ \frac{3x}{8} - \frac{3 \sin(2x)}{16} + \frac{\sin(4x)}{32} + C $ | $ I_4 = \frac{3}{4} I_2 $ |
| 5 | $ -\frac{5}{6} \cos x + \frac{5}{24} \cos(3x) - \frac{1}{40} \cos(5x) + C $ | $ I_5 = \frac{4}{5} I_3 $ |
三、总结
通过上述递推公式，我们可以方便地计算任意整数次幂的 $ \sin^n x $ 的不定积分。当 $ n $ 为偶数时，积分结果通常包含多项角度的三角函数；而当 $ n $ 为奇数时，则可以表示为多个余弦函数的组合。这种递推方法不仅提高了计算效率，也便于编程实现或进一步的数学分析。
