【部分分式展开】在数学中，特别是在代数和微积分中，部分分式展开（Partial Fraction Decomposition）是一种将有理函数分解为多个简单分式的技巧。这种方法常用于积分、微分方程求解以及信号处理等领域。通过部分分式展开，可以将复杂的有理函数转化为更容易处理的形式。
一、什么是部分分式展开？
部分分式展开是将一个有理函数（分子和分母都是多项式的函数）表示为几个更简单的分式的和的过程。通常，这些分式的形式取决于分母的因式分解情况。例如，如果分母可以分解为线性因子或不可约二次因子，则对应的分式形式也会相应变化。
二、部分分式展开的步骤
1. 检查分子和分母的次数：若分子次数不小于分母次数，先进行多项式除法。
2. 对分母进行因式分解：将分母分解为一次因式和不可约二次因式的乘积。
3. 根据因式类型写出相应的分式形式：
- 对于每个一次因式 $(ax + b)$，对应分式为 $\frac{A}{ax + b}$
- 对于每个重复的一次因式 $(ax + b)^n$，对应分式为 $\frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax + b)^n}$
- 对于每个不可约二次因式 $(ax^2 + bx + c)$，对应分式为 $\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$
4. 设未知系数并求解：将原式表示为各分式的和，然后通过比较系数或代入特殊值来求解未知数。
三、常见分式形式总结
| 分母因式类型 | 对应的部分分式形式 |
| 线性因式 $(x - a)$ | $\frac{A}{x - a}$ |
| 重复线性因式 $(x - a)^n$ | $\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n}$ |
| 不可约二次因式 $x^2 + bx + c$ | $\frac{Ax + B}{x^2 + bx + c}$ |
| 重复不可约二次因式 $(x^2 + bx + c)^n$ | $\frac{A_1x + B_1}{x^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(x^2 + bx + c)^n}$ |
四、举例说明
例1：
$$
\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}
$$
解得 $A = 1$, $B = 2$，所以：
$$
\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}
$$
例2：
$$
\frac{x^2 + 1}{(x + 1)(x^2 + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2}
$$
解得 $A = 1$, $B = 0$, $C = -1$，所以：
$$
\frac{x^2 + 1}{(x + 1)(x^2 + 2)} = \frac{1}{x + 1} + \frac{-1}{x^2 + 2}
$$
五、应用领域
- 积分计算：将复杂分式拆分为简单分式后，便于积分。
- 微分方程求解：在拉普拉斯变换和逆变换中广泛应用。
- 信号处理：用于系统函数的分解与分析。
通过掌握部分分式展开的方法，可以有效简化许多数学问题的求解过程，提高运算效率与准确性。
