在平面直角坐标系中，我们研究一个几何图形的基本性质。已知点 \( A(-1, 0) \) 和点 \( B(0, 4) \)，以及它们所构成的角 \( \angle ABC \)。为了更好地理解这个图形的特性，我们需要结合几何与代数的方法进行分析。

首先，确定点 \( C \) 的位置是关键。假设点 \( C(x, y) \) 是未知的，我们可以利用向量工具来描述角 \( \angle ABC \) 的关系。通过计算向量 \( \overrightarrow{AB} \) 和 \( \overrightarrow{BC} \)，可以得到它们的方向和大小。向量 \( \overrightarrow{AB} \) 可以表示为：

\[

\overrightarrow{AB} = (0 - (-1), 4 - 0) = (1, 4)

\]

而向量 \( \overrightarrow{BC} \) 则为：

\[

\overrightarrow{BC} = (x - 0, y - 4) = (x, y - 4)

\]

接下来，我们使用向量内积公式来求解角 \( \angle ABC \) 的余弦值。向量内积公式如下：

\[

\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}|}

\]

其中，内积 \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \) 计算为：

\[

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot x + 4 \cdot (y - 4) = x + 4y - 16

\]

向量 \( \overrightarrow{AB} \) 的模为：

\[

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}

\]

向量 \( \overrightarrow{BC} \) 的模为：

\[

|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{x^2 + (y - 4)^2}

\]

将上述结果代入公式后，即可获得角 \( \angle ABC \) 的表达式。进一步地，如果点 \( C \) 的具体坐标已知，则可以直接计算角度的具体数值。此外，也可以通过几何方法验证所得结果是否合理。

综上所述，在平面直角坐标系中，通过对已知点 \( A(-1, 0) \) 和 \( B(0, 4) \) 的分析，结合向量工具，我们可以深入探讨角 \( \angle ABC \) 的几何意义及其数学表达。这种分析不仅有助于加深对平面几何的理解，也为解决更复杂的几何问题提供了思路。

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