【数学期望公式是什么】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中平均结果的理论值。它常用于评估风险、预测未来收益或损失等实际问题中。理解数学期望的公式及其应用场景，有助于更好地进行数据分析与决策。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value）是指在所有可能结果中，按照各自发生的概率加权后的平均值。简单来说，它是对随机变量“平均”表现的一种量化表达。
二、数学期望的公式
1. 离散型随机变量的数学期望公式：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $ 是随机变量 $ X $ 的第 $ i $ 个可能取值；
- $ P(x_i) $ 是该取值发生的概率；
- $ n $ 是所有可能取值的数量。
2. 连续型随机变量的数学期望公式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中：
- $ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。
三、数学期望的性质
| 性质 | 描述 |
| 线性性 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $，其中 $ a $、$ b $ 为常数 |
| 常数期望 | $ E(c) = c $，其中 $ c $ 为常数 |
| 非负性 | 若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $ |
| 可加性 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ |
四、常见分布的数学期望
| 分布类型 | 数学期望公式 | 说明 |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ E(X) = np $ | 每次试验成功的概率为 $ p $，共进行 $ n $ 次独立试验 |
| 泊松分布 $ Po(\lambda) $ | $ E(X) = \lambda $ | 参数 $ \lambda $ 表示单位时间内的平均发生次数 |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ E(X) = \mu $ | 均值 $ \mu $ 即为数学期望 |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ | 在区间 $ [a, b] $ 上均匀分布 |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ | 描述事件发生的时间间隔 |
五、数学期望的实际应用
- 金融投资：计算投资组合的预期收益率。
- 保险精算：评估保费与赔付金额的平衡。
- 游戏设计：确定游戏规则的公平性。
- 风险管理：预测不同情境下的平均损失或收益。
六、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，它帮助我们从随机事件中提取出一个“平均”结果，从而做出更科学的判断。无论是离散还是连续型随机变量，其数学期望的计算方法都遵循基本的概率加权原则。掌握数学期望的公式及其应用，对于理解和分析现实世界中的不确定性具有重要意义。
| 项目 | 内容 |
| 标题 | 数学期望公式是什么 |
| 定义 | 随机变量在长期试验中的平均结果 |
| 公式（离散） | $ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $ |
| 公式（连续） | $ E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx $ |
| 性质 | 线性性、非负性、可加性等 |
| 应用 | 金融、保险、游戏、风险管理等 |
