【复数的三角函数表示】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，通常表示为 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。除了这种代数形式外，复数还可以用三角函数的形式来表示，这被称为复数的极坐标表示或三角表示。这种表示方式在工程、物理和信号处理等领域具有广泛应用。
一、复数的三角函数表示
复数的三角函数表示是基于复平面上的几何意义进行的。一个复数 $ z = a + bi $ 可以看作是平面上的一个点，其模（绝对值）为 $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $，而幅角（角度）为 $ \theta $，即从实轴到该点的夹角。因此，复数可以表示为：
$$
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
$$
其中：
- $ r $ 是复数的模；
- $ \theta $ 是复数的幅角，也称为辐角。
这个表达式被称为复数的三角表示或极坐标表示。
二、三角表示与指数表示的关系
根据欧拉公式：
$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
$$
因此，复数的三角表示也可以写成：
$$
z = r e^{i\theta}
$$
这就是复数的指数形式，它在计算复数乘法、除法、幂运算时非常方便。
三、总结对比
| 表示方式 | 表达式 | 特点说明 |
| 代数形式 | $ z = a + bi $ | 基本形式，便于加减运算 |
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ | 几何直观，适合乘除和幂运算 |
| 指数形式 | $ z = r e^{i\theta} $ | 简洁高效，适用于快速计算和变换 |
四、应用举例
1. 乘法：若 $ z_1 = r_1 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) $，$ z_2 = r_2 (\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) $，则
$$
z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)
$$
2. 除法：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)
$$
3. 幂运算：
$$
z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))
$$
五、总结
复数的三角函数表示不仅有助于理解复数在几何上的意义，也为实际计算提供了极大的便利。通过将复数转换为三角或指数形式，可以更高效地进行乘法、除法、开方等运算。掌握这一表示方法，对于进一步学习复变函数、傅里叶变换等高级数学内容具有重要意义。
