【等差和等比所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型，它们在数列、级数、函数以及实际应用中都有广泛的应用。本文将对等差数列和等比数列的所有主要公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 d。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 求前n项的和 |
| 中间项公式 | $ a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} $ | 当三项成等差时，中间项为前后两项的平均值 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 r。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 求前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
| 中间项公式 | $ a_k = \sqrt{a_{k-1} \cdot a_{k+1}} $ | 当三项成等比时，中间项为前后两项的几何平均 |
三、等差与等比的区别
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 后项减前项为定值 | 后项除前项为定值 | ||
| 公差 | $ d = a_{n+1} - a_n $ | 公比 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 和的计算 | 使用等差求和公式 | 使用等比求和公式 | ||
| 是否收敛 | 无限项和一般不收敛 | 当 $ | r | < 1 $ 时，无限项和收敛 |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的两种基本形式，掌握它们的公式有助于解决许多数学问题。无论是考试还是实际应用，了解它们的规律和性质都是非常有帮助的。
通过本篇总结，读者可以快速回顾等差数列和等比数列的核心公式，并将其应用于具体题目或实际场景中。
