【凸度与久期计算公式】在债券投资中，久期和凸度是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。它们帮助投资者更好地理解和管理债券组合的利率风险。以下是对久期与凸度的基本概念及其计算公式的总结。
一、久期（Duration）
久期是用来衡量债券价格对利率变动反应程度的一个指标。它表示债券现金流的加权平均时间，权重为各期现金流的现值占总现值的比例。
1. 麦考利久期（Macaulay Duration）
麦考利久期是最常见的久期计算方法，适用于固定收益债券。
公式：
$$
D_{\text{Macaulay}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + r)^t}}
$$
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流（包括利息和本金）
- $ r $：市场利率或折现率
- $ n $：债券剩余期限（以期为单位）
2. 基于现值的修正久期（Modified Duration）
修正久期用于估算债券价格对利率变化的百分比变动。
公式：
$$
D_{\text{Modified}} = \frac{D_{\text{Macaulay}}}{1 + r}
$$
二、凸度（Convexity）
凸度是对久期的补充，用于衡量债券价格对利率变动的二阶敏感性。它反映了债券价格曲线的弯曲程度，可以更精确地预测利率变动对债券价格的影响。
公式：
$$
C = \frac{\sum_{t=1}^{n} t(t + 1) \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^{t + 2}}}{P}
$$
- $ P $：债券当前价格
- 其他符号同上
三、久期与凸度的关系
| 指标 | 定义 | 用途 | 计算方式 |
| 久期 | 表示债券现金流的加权平均时间 | 衡量价格对利率的一阶敏感性 | 麦考利久期 / 修正久期 |
| 凸度 | 表示价格对利率的二阶敏感性 | 更精确地预测价格变化 | 现金流的二阶加权平均 |
四、实际应用中的注意事项
- 久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
- 凸度越大，债券价格对利率波动的非线性影响越明显。
- 在利率大幅波动时，仅使用久期可能低估或高估价格变化，此时需结合凸度进行调整。
五、总结
久期和凸度是债券分析中不可或缺的工具。通过合理运用这两个指标，投资者可以更有效地评估和管理债券投资组合的利率风险。在实际操作中，建议结合两者进行综合判断，以提高投资决策的准确性。
附：简化版计算公式对照表
| 名称 | 公式说明 |
| 麦考利久期 | $ D_{\text{Macaulay}} = \frac{\sum t \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^t}}{\sum \frac{C_t}{(1 + r)^t}} $ |
| 修正久期 | $ D_{\text{Modified}} = \frac{D_{\text{Macaulay}}}{1 + r} $ |
| 凸度 | $ C = \frac{\sum t(t + 1) \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^{t + 2}}}{P} $ |
